La mia famiglia

 

Dovremmo, in primo luogo premettere da quale pulpito viene la predica, non tanto per fare outing come si dice oggi o semplicemente per presentarmi ma per chiarire quali sono i miei pregiudizi teorici e il mio stile di discorso. Vi dico subito che il discorso sulla democrazia è oggi, per me, pieno di difficoltà, non ultima quella che con un interessante metafora Giovanni Sartori chiamava  dell’apertura del vaso di Pandora; vaso chiuso nel passato dalla necessità di difendere la liberal-democrazia (è questo uno dei miei pregiudizi teorici ) dai totalitarismi che si sono chiamati di volta in volta, democrazia reale, diretta, etc.

Una di queste difficoltà, e non è certamente la più piccola è proprio il rapporto tra democrazia e scienza. Per quanto gli studi sociali siano sempre piu’ sollecitati ad accogliere la parola scienza tra i parenti nobili, tanto è vero che si parla appunto di scienze sociali, scienze dell’economia, e perfino di scienza della politica, ancora oggi la divaricazione tra le due culture (come l'ha chiamate Snow vedi:C.P.Snow,The two cultures and a second look, Cambridge University Press, Cambridge 1964; trad.it.,Le due culture, Feltrinelli,Milano,1970.) non si può dire che sia colmato; certamente ha preso altri aspetti non meno problematici che per il passato.

 

Certamente cosi come oggi democrazia è l’ideale cornice entro cui prendono alimento i nostri discorsi politici, anche scienza è diventata una parola passe-partout  e come tale è diventata ideale normativo: il discorso deve essere scientifico. Meglio ancora deve possedere una episteme cioè un sapere certo. Anche quando in qualche lodevole eccezione la scienza prende connotazioni critiche (penso ad Emanuele Severino) la dimensione dell’episteme, del sapere certo rimane l’ideale imprescindibile della ricerca.

Ma  il grosso problema delle scienze sociali e anche della scienza politica è proprio che la configurazione scientifica non si sa bene dove venga posta. Non solo nel migliore dei casi l’aspetto scientifico di una teoria politica rimane al livello descrittivo, ma anche quando la prova della sua verificabilità/falsificabilità è tale agli occhi di tutti, manca proprio il coraggio per ammetterne i fallimenti.

Voglio fare un solo esempio perfino stucchevole di questa mancanza della verità delle prove. La scienza economica aveva registrato prima della crisi un specie di identità teorica diciamo cosi’ marginalistica. Detto in soldoni si diceva che il margine del profitto e del guadagno tanto era maggiore quanto piu’ la domanda cresceva. In America questa idea veniva simbolizzzata dai cittadini con l’idea degli acquisti “con la plastica” cioè con la carta di credito che ti permetteva di acquistare un bene vasto con una piccola immediata spesa. La cosiddetta economia creativa si alimentava di questo rinvio infinito del pagamento con altissimi interessi e con questa immediatezza dell’acquisto.

Vediamo tutti come le cose sono andate: il rinvio infinito del pagamento è dovuto finire e i fondi creativi, i cosiddetti prodotti,  sono diventati fantasmi paurosi che hanno innescato e sostenuto la crisi globale.

Orbene il riconoscimento del fallimento non c’è stato. Non tanto che non si sia riconosciuta la crisi (forse anche troppo) ma per risolverla, semplicemente, si è invertito il movimento. Il tasso di interesse cala sempre di più seguendo l’idea, ancora marginalista, di invogliare il cittadino a proseguire la folle corsa dell’acquisto- ora; e del pagamento procrastinato e procrastinato all’infinito.

Io non sono un economista ma mi accorgo che un’economia più reale e più ancorata alle dimensioni del lavoro, piuttosto che dell’acquisto, è un valore inesistente o coincidente con i discorsi della nonna e con la laudatio temporis acti. E come tale, per l’opinione pubblica, l’opinione che fa anche politica,  un discorso assolutamente non praticabile.

Si potrebbe dire che allora, forse, la scienza economica è un sapere controvertibile, e che allora appunto non merita il titolo di episteme, sapere certo. Ma  questa riflessione ci costringe alla domanda: ma cos’è scienza? Anche su questo dobbiamo tentare se non delle definizioni (che lasciano sempre il tempo che trovano) di capire oggi come nelle scienze sociali si parli di scienza.
Per chi abbia un minimo di conoscenza filosofica si dice che un sapere è scientifico quando è falsificabile. Non è soltanto Karl R. Popper a sostenere questo ma anche illustri economisti come von Hajek ad esempio e in generale anche chi se ne intende poco usa la parola magica “falsificabile” per mettersi il cuore in pace con la sua coscienza epistemologica.

Il fatto è che questa definizione è una descrizione della teoria, non una prescrizione. In altri termini serve a poco per chi vuole fare effettivamente scienza.

Dunque comincio con il dire che da un punto di vista logico la falsificabilità è un modus tollens, dicono i logici matematici che è una tautologia che cioè è vera in tutti i mondi possibili. Cio significa che se in p e q voi mettete quqlsiasi proposizione il valore veritativo assoluto dellla espressione non varia.Tra l’altro e non voglio certamente negare meriti a Popper il modus tollens è conosciuto anche da Kant,come approccio nei confronti della scienza. (Kant,Kritik der reinen Vernunft, B 819/A 791,trad.Colli, p.775). Ve lo presento in termini di logica matematica. Prima vi do la formula e in seguito la traduco in volgare.

[(p q) ^  ¬ q]   ¬p]

p= teoria ; q= esperimento il segno significa implica. Il segno ^ significa la congiunzione.Il segno ¬ la negazione.In volgare: la teoria implica l’esperimento, ma l’esperimento fallisce, dunque la teoria è falsa.Il modus tollens è una tautologia. Cioè è sempre vera. La dimostrazione è fatta con le tavole di verità una volta date le regole: la congiunzione di due proposizioni è vera solo se entrambe sono vere, falsa in tutti gli altri casi.L'implicazione è falsa solo se l'antecedente è vero e il conseguente è falso,vera in tutti gli altri casi.La negazione inverte il valore da vero a falso da falso a vero.La dimostrazione si basa su quattro righe perchè i rapporti tra le due proposizioni considerando tutti i casi possibili cioè che siano vere o false è appunto 4 (2 pr due valori di verità per due proposizioni secondo la formula 22- l'errore sarebbe quello di moltiplicare piuttosto che elevare a potenza-.La base della potenza sono i valori -2-vero e falso, l'esponente il numero delle proposizioni)).

[(p

q)

^

¬

q]

¬

p)

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Come è evidente nella colonna rossa l'implicazione finale è sempre vera.

Si noti che il cosidetto principio di verificabilità non è una tautologia.
[(p 
q) ^  q]    p] . Facilmente dimostrabile con le tavole di verità.In volgare La teoria implica l’esperimento, l’esperimento riesce la teoria è vera. Ma l'implicazione non è una tautologia.Infatti:

[(p

q)

^

 

q]

 

p)

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mentre abbiamo la certezza logico-matematica che il modus tollens è un verità logica il cosiddetto principio di verificabilità non lo è. Perchè nella colonnina rossa troviamo un falso. Ecco perché in genere non si dice che la teoria è vera ma che ha temporaneamente superato il tentativo di confutazione. La teoria di Einstein non è vera ma fino ad oggi ha superato brillantemente tutti i tentativi di confutazione. Fino ad oggi.
Tutto va bene, madama la marchesa, in questo caso la teoria va bene, è perfetta. Ma appunto la teoria. Ma la prescrizione come va? Qui sta il punto.
Riprendiamo il tema del marginalismo. Possiamo affermare che la teoria marginalista è falsa. Ma possiamo allegramente accontentarci di questo? Ebbene no. Noi dobbiamo, vogliamo superare la crisi. Il principio di falsificabilità ci può aiutare? Purtroppo no.
Quello che possiamo dire (ed è già una grossa assunzione di responsabilità) è che il marginalismo è falso. Il logico stupido potrebbe dire: negando una teoria falsa si ottiene una teoria vera ¬ ¬p = p. Ma qual è questa teoria? La teoria di Keynes? Ma non possiamo logicamente affermarlo. Non lo sappiamo, purtroppo.
Infatti la logica ha accettato la lezione dell’intuizionismo per cui    p =  ¬¬p ma invece ¬¬p
p.(L'intuizionismo che parte da un punto di vista rigorosamente matematico - non logico-  è comprensibile solo se sostituiamo alla parola vero la parola dimostrabile. E alla parola falso la parola assurdo. In questo caso le espressioni si leggono: se una proposizione matematica è dimostrata ciò vuol dire che è assurdo che sia assurda. Ma se di  una proposizione matematica diciamo che è assurdo che sia assurda non l'abbiamo ancora, per ciò. dimostrata).
Al massimo, nella decisione politica visto che una teoria si è dimostrata falsa si ricorre non ad una nuova teoria ma a quella antagonista che era o faceva parte del passato teorico della prima. Ad esempio le politiche marginaliste o anche del libero mercato vengono sostituite con politiche neo keynesiane.
Ma la torre sicura dell’episteme, anche qui, crolla.
La caratteristica di essere, intendo la teoria politica, solo descrittiva e non prescrittiva non si ritrova solo in campo scientifico ma è appunto un caratteristica del  campo dottrinale.
Nel testo di Sartori Democrazia cos'è, si sostiene che il cosidetto elitismo cioè la teoria che afferma che la politica attiva è effettuata daminoranze organizzate non solo non è stata per nulla accettata (certamente non da Sartori che ne afferma come del resto Bobbio il suo carattere scientifico:“la teoria della classe politica, non solo non è stata sinora smentita; ma è ancora oggi uno dei capisaldi della scienza politica, quasi un'opinione comune, rispetto alla quale l'onere della prova spetta a coloro che la rifiutano, non già a coloro che l'accettano” vedi Bobbio,Mosca e la scienza politica, in ID, Saggi sulla scienza politica in Italia,Laterza, Roma-Bari 1966,p.168.) ma è stata nel passato considerata come una e vera e propria nemica del concetto di democrazia retta dal principio della maggioranza. Detto in termini cosi semplicistici maggioranza contro minoranza è chiaro che l'opposizione sembra insuperabile. Ma per Sartori l'argomento anti-elitista è fondato quasi su nulla (vedi G.Sartori, Democrazia cosa è, Rizzoli,2000,p.294.); ma perchè dunque sopravvive? La ragione sta nel fatto che non si precisa bene il funzionamento della democrazia, la sua cornice poliarchica, e il fatto che le elites devono competere e essere continuamente condizionate dall'aspettativa di come gli elettori rispondono alle loro decisioni politiche che è poi quello che sta accadendo, oggi.
Mi rendo conto prima di inoltrarmi in questo difficile passo come l'episteme, anche qui vacilla. Infatti si potrebbe sostenere con chiaro intento ideologico che gli elettori possono essere manipolati e che quindi l'elite più comunicativa o che sa usare meglio i sistemi di comunicazione alla fine prevarrà.
Però qual'è la soluzione? La democrazia diretta, il referendum elettronico di tutti i cittadini (è anche vero che ci sono queste proposte). L'anti-elitista per fare le sue proposte operative e politiche per rendere, per esempio ,comprensibile una legge (sappiamo tutti a quali sforzi concettuali ci costringono ii referendum), si deve organizzare in gruppo, cioè deve praticare in re cio' che nega in teoria.
Sicuramente questa impasse della teoria non è dovuta solo alla cattiva coscienza ma anche al fatto che due modelli sociali vengono qui in conflitto. Un modello che parte da Pareto, Mosca,Michels, e Shumpeter fino a Weber e l'altro che è quello di Durkheim, ma anche di Comte fino a Hegel e che cioè l per quest'ultimi l 'essenza del sociale sta nella società, nella totalità, non nell'individuo;  per gli altri la società è la totalità degli individui che si comporta tuttavia non come mera somma di essi.
Ma questa dimensione problematica nella teoria non agita nessuna risposta operativa a parte Beppe Grillo e Travaglio. Sartori ha fatto vedere sempre nel suo testo che oggi non si può sicuramente pensare in termini di ingenuità politica. Qualsiasi legge che venga approvata o confermata da un referendum ha bisogno di discussione e di conoscenza; ha bisogno di registrare una pubblica opinione, ha bisogno soprattutto di passare da una forma di informazione “ad un sapere che è comprensione del problema nel quale una decisione si situa, e anche delle conseguenze della decisione che andiamo a prendere”(vedi Sartori,p.87).
In una parola: episteme. Ma anche qui come è facile vedere l'episteme vacilla.
Con ciò possiamo pensare di avere esaurito molto nichilisticamente il nostro breve discorso. Tuttavia dobbiamo precisare una direzione che pure nella sua problematicità promette un'uscita.
L'idea è questa. L'episteme diventa in qualche maniera luogo degno di essere ricercato quando dimentica, in parte la sua dimensione teorica per rilanciare per cosi' dire la sua versione pragmatica. L'importanza di quelle che si chiamano procedure. Non che la democrazia possa ridursi solo a procedura, certo. Ma nella procedura può seguire, dimostrare e raggiungere il possibile traguardo. La procedura è anche in qualche maniera garanzia di una forma di verifica della teoria e da questo punto di vista avrei un ultimo esempio.
Una caratteristica procedura democratica è data dalla elezione dei rappresentanti. Non è chi non veda come anche recentemente le procedure elettorali sono state al centro di sofferte polemiche. Ora proprio su questa caratteristica procedura il matematico impertinente Piergiorgio Odifreddi ha scritto vari articoli uno intitolato appunto la democrazia impossibile. (vedi Piergiorgio Odifreddi, La democrazia impossibile ,http://www.vialattea.net/odifreddi/arrow.pdf).
In questo articolo Odifreddi prende di mira le votazioni cosidette a doppio turno. Ecco l'esempio: ho cambiato le lettere D,A,B,C di Odifreddi con PDL, PD, UDC, Lega.
Ammettiamo per semplicità che gli elettori siano soltanto tre: i famosi Tizio,Caio, Sempronio (naturalente questi possono essere anche gruppi sociali). Questi signori hanno delle preferenze politiche che abbiamo indicato con dei numeri. Ad esempio su 10 numeri Tizio da 4 al PDL e cosi' via secondo la tabella.

votante

partito

partito

partito

partito

tizio

PDL 4

PD 3

UDC 2

Lega 1

caio

UDC 4

Lega 3

PDL 2

PD 1

sempronio

Lega 4

PDL 3

PD 2

UDC 1

 

Se si votano  tre turni e si mette in competizione il PDL contro Lega, poi la vincitrice contro UDC ,e infine la vincitrice contro PD che succede?

Allora la Lega vince su PDL (perché essendoci solo due raggruppamenti Lega e PDL il primo elettore Tizio preferisce il PDL alla Lega, Caio preferisce la Lega al PDL e anche Sempronio preferisce la Lega al PDL. Vince per due a uno la  Lega sul PDL)

Vince al 1° turno la Lega

2° turno: la vincitrice Lega contro UDC.

UDC vince sulla Lega (perchè Tizio preferisce UDC alla Lega, Caio ancora UDC alla Lega solo Sempronio preferisce la Lega all'UDC . Vince per due a uno l'UDC  sulla Lega ).

Vince al secondo turno l’UDC.

3° Turno UDC contro il PD.

Il PD vince su UDC (perchè Tizio preferisce il PD all'UDC, Caio preferisce UDC a PD, ma Sempronio preferisce il PD all'UDC. Vince per 2 a 1 il PD sull'UDC ).

Vince al 3° turno il PD

Ma in assoluto, cioè in un turno unico, chi vincerebbe ?

 

votante

partito

partito

partito

partito

tizio

PDL 4

PD 3

UDC 2

Lega 1

caio

UDC 4

Lega 3

PDL 2

PD 1

sempronio

Lega 4

PDL 3

PD 2

UDC 1


Sommiamo i suffragi

PDL  4+ 2 + 3 = 9
PD 3 + 1 + 2 =   6
UDC 2 + 4 + 1 = 7
Lega 1 + 3 + 4 = 8

In assoluto cioè se si facesse una votazione ad unico turno vincerebbe il PDL . Invece seguendo i tre turni ha vinto il PD. Secondo questo paradosso dunque l'ordine delle votazioni influisce assolutamente sul risultato.

Questo paradosso si può effettivamente realizzare? In qualsiasi sistema elettorale a doppio turno i suffragi vengono presentati tutti insieme, prima. In questo caso se si riducessero a due i contendenti si avrebbe PDL e Lega (cioè quei partiti che hanno maggiori suffragi, nel nostro esempio)  e dunque? Sappiamo già che vincerebbe la Lega.L'abbiamo già detto e lo ripetiamo: Tizio preferirebbe il PDL, Caio la Lega e Sempronio la Lega (vincitore sarebbe ia Lega) . Anche in questo caso il doppio turno  sconvolgerebbe l'ordine democratico. Basta tuttavia cambiarela lega con l'UDC che nella nostra disposizione tornerebbe a vincere il PDL. Infatti Tizio fa prevalere il PDL, Caio l'UDC e Sempronio il PDL.

Come si vede dunque e come fa vedere Odifredi che ha gioco nell'enfatizzare questo paradosso che ha nome da Condorcet ed è stato matematizzato da Arrow, il paradosso nasce dalla diversità delle persone e delle gerarchie. La stessa ragione per cui nello sport chiamato calcio, banalmente il girone all'italiana premia squadre diverse rispetto alla eliminazione diretta. Detto tra parentesi questo porta a considerare il doppio turno una procedura meno democratica del turno unico. Certo è vero  che se si cambia l'ordine di votazione i risultati possono essere diversi fino alla dimensione estrema per cui conoscendo in anticipo le combinazioni e le preferenze dei gruppi sociali (tizio caio sempronio) ci puo' essere un partito che vinca sempre anche se in assoluto non dovrebbe vincere. L'esempio l'abbiamo già fatto: nella nostra combinazione, in assoluto ,il PD sarebbe il partito con minori suffragi eppure vince nelle combinazioni proposte. Il PD sarebbe il dittatore. Kennet Arrow ha ricevuto il premio Nobel per l'economia (1972) elaborando matematicamente e in vista di una competitività economica, questa possibile situazione.

Tuttavia abbiamo visto come il paradosso o il teorema non rendono affatto la democrazia impossibile  come afferma dispettosamente nel suo titolo Odifreddi, viceversa la rendono più duttile più esperta delle procedure e quindi più efficace.

E mi sia consentito di esprimere un ultima battuta.

La democrazia può essere minacciata da quella che Italo Mancini chiamava pletora dell'informazione?

Dunque il politico deve essere un professionista? Non è chi non veda che se la politica abbisogna di informazioni sempre più vaste, l'idea di un professionismo politico sembra inevitabile. E per certi versi è cosi'.

Ma sarebbe una ben misera conclusione democratica questa se non la facessimo invece declinare con la certezza che il rappresentante ha certo il bisogno di spiegare e spiegare in termini comprensibili quello che ha appreso, ma è anche vero che la misura della sua chiarezza e della sua argomentazione è anche misura del suo successo politico.

Ogni Odifreddi (cioè ogni professionista della politica) deve essere spiegato e mediato da quello che si chiama senso comune e che è il senso più democratico che si possa immaginare. E' un po' quello che,  modestamente, abbiamo fatto noi confrontando il paradosso di Condorcet, con i sistemi di eliminazione delle squadre di calcio.

Ultimo aggiornamento Lunedì 05 Maggio 2014 10:13

 

La relatività di Einstein e l'assoluto

Venerdì 31 Luglio 2009 08:00 Alessandro Di Caro

 

 

 

La relatività di Einstein e l'assoluto

di

Alessandro Di Caro

Sicuramente avrete sentito parlare di Einstein e della sua teoria della relatività. Tuttavia il significato di essa, ancora, è per il grande pubblico un mistero, condito da formule ancora piu' misteriose. La lettura di queste righe, forse, potrebbe rendere meno misteriosa e astrusa la teoria. Sarà capitato anche a voi di camminare, in un aeroporto, su quelle guide mobili che vi moltiplicano i passi. Voi andate molto piu' veloci dei passeggeri che non stanno usando il “tapis roulant”. Ma immaginate che ci sia una passeggera – la chiameremo Luce – che ha la stessa velocità sia che cammini nel “tapis” sia che cammini normalmente. Questo passeggero esiste veramente anche se non è una donna; è appunto la velocità della luce che è, sempre, in qualsiasi mezzo mobile o in quiete sempre 300.000 Km al secondo. Questo assoluto non è un'invenzione di Einstein è la naturale conseguenza di un esperimento fatto da Michelson-Morley. Per alcuni fisici il nome di relatività sarebbe fuorviante perché appunto esiste anche l'assoluto (la velocità della luce). Ma veniamo ora alla relatività. Già il nostro Galileo Galilei osservava che il passeggero di una nave se non guardasse fuori di bordo non avrebbe alcun mezzo per capire che sta navigando (a parte il mal di mare). Le leggi del moto (camminare su una nave) sono identiche sia sulla nave che sulla terraferma. Il moto è relativo al mezzo che uno impiega. Einstein tuttavia ragionò in modo diverso, nel senso che il moto relativo della nave deve aggiungere qualcosa al camminare del passeggero, per lo meno per lo spettatore che guarda dalla riva ferma. Cosa è questo qualcosa? E come misurarlo? Se guardate la figura allegata che descrive un raggio di luce in un mezzo fermo e nello stesso mezzo in movimento, vi accorgete che lo spazio percorso dal raggio di luce è ben piu' grande nel mezzo in movimento rispetto al mezzo quando è in quiete.

 

 

Tuttavia succede un'altra cosa strana: la velocità è lo spazio fratto il tempo. Cerchiamo di fare esempi con numeri molto piccoli. Cioè se lo spazio fosse 4 km e il tempo 2 ore la velocità sarebbe di 2 km all'ora (infatti 4/2= 2) . Ma se lo spazio aumentasse, ammettiamo, del doppio (8 Km) e, secondo la nostra concezione pre-einsteiniana, il tempo rimanesse invariato che succederà? 8/2 = 4; la velocità deve aumentare. MA la velocità della luce rimane un assoluto costante. Dunque abbiamo l'unica possibilità di aumentare anche il tempo nella nostra semplice frazione, per rendere costante la velocità (che deve essere sempre due = per convenzione a 300.000 km/sec) 8/4 = 2.

Che significa? Significa che in un corpo in movimento il tempo ritarda. Infatti un orologio impiegherebbe piu' tempo e quindi ritarderebbe rispetto ad un orologio in quiete. Questa idea di Einstein che in un corpo o in un mezzo in movimento il tempo ritarda non deve essere intesa come una constatazione che un uomo nello stesso mezzo in movimento si può accorgere di questo strano effetto. Se ne accorge solo dopo che ha fatto il percorso confrontando il suo orologio con quello di un amico che è stato fermo. Il suo orologio ritarda. Voi potreste dire che ciò capita al raggio di luce soltanto. Ma qui bisogna pensare che la luce è il mezzo con cui noi vediamo tutto e quindi tutto il mondo è permeato da questo strano effetto. Dopo Einstein questo effetto è stato dimostrato sperimentalmente sia perché il sistema satellitare che serve anche per i nostri navigatori terrestri deve essere sempre sincronizzato, perché ritarda (rispetto alla terra); sia perché i muoni (che sono particelle che vivono un brevissimo tempo e si formano negli strati piu' alti dell'atmosfera) non potrebbero essere colti nella superficie terrestre se il loro tempo, relativamente alla superficie terrestre, non ritardasse. In ogni caso la relatività galileiana è conservata. Se un astronauta il cui gemello fosse rimasto sulla terra raggiungesse con la sua astronave velocità prossime a quelle della luce e ritornasse sulla terra troverebbe che il suo gemello sarebbe di molto invecchiato rispetto a lui. Ancora una volta per l'astronauta il tempo scorre come sempre. E' per il fratello che rimane sulla terra che il tempo del gemello è passato tanto; ma appunto non è al fratello astronauta che sono venuti i capelli bianchi ma al fratello sulla terra. Relativamente al fratello sulla terra l'orologio del gemello sull'astronave ha tardato tantissimo. Ma relativamente al fratello sull'astronave il tempo non ha ritardato. Il suo orologio funziona benissimo.

Vediamo dunque che nella relatività ci sono elementi relativi e un elemento assoluto invariante: la velocità della luce. Essa è tanto assoluta che non si può superare e se un corpo raggiungesse la velocità della luce si dilaterebbe enormemente e ritarderebbe enormemente.

Per concludere qui abbiamo esposto la relatività speciale che conserva tra due sistemi di riferimento, un corpo in moto e un corpo in quiete, un aggancio che è il corpo in quiete. Nella relatività generale per Einstein nessun corpo è in quiete, proprio perché se è sottoposto alla gravità (e l'universo è tutto esposto alla gravità, meglio ai campi gravitazionali) è come se fosse in moto. Dunque un sistema di riferimento non esiste. Ci vuole un calcolo che possa pensare questo non riferimento per dir cosi'.

Il calcolo è quello di due italiani Tullio Levi Civita e Ricci Curbastro, il calcolo tensoriale. La rappresentazione geometrica è quella tipica della geometria non-euclidea.

 

I misteri dello spazio – Geometrie non euclidee

di

Alessandro Di Caro

Immaginate che, per uno strano caso del destino, il vostro modo di vedere fosse del tutto diverso da quello delle persone normali. Uno potrebbe dire, ad esempio, che è quello che capita usualmente ai miopi o ai daltonici. Ma non si tratta di questo perché i miopi o i daltonici si accorgono della loro anormalità; invece questa anormalità è cosi' generale che non abbiamo modo di controllarla.

Ebbene questa anormalità è appunto quella della visione dello spazio.

Un tempo con Euclide (367-283 a.c) v'era la convinzione che la geo-metria (letteralmente misura della terra) fosse una perfetta traduzione della realtà. Perfino Galileo Galilei era convinto di questo. Tuttavia Euclide aveva proceduto nella sua scienza con un metodo logico (non guardando solo lo spazio); aveva sommato proposizioni logiche a proposizioni logiche e aveva invitato ad accettare proposizioni di per sé evidentissime: i postulati.

Eccone quattro. 1)Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. 2) Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.3) Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.4)Tutti gli angoli retti sono uguali. Come si vede non abbiamo difficoltà ad accettare queste proposizioni. E apparentemente non abbiamo difficoltà ad accettare anche il quinto postulato che viene rappresentato nella figura 1.

 

Tuttavia Euclide nella sua deduzione logica delle proposizioni geometriche era giunto fino a 28 passaggi senza adottare questo postulato. Come mai?

Euclide era un grande ragionatore. Infatti questo quinto postulato gli sembrava poco chiaro. Innanzitutto gli veniva il dubbio che il prolungamento indeterminato delle due rette portasse sempre alla loro coincidenza in un punto. Ma l'altro dubbio era anche piu' forte; se gli angoli interni fossero retti, che cosa dovrebbe succedere?

Abituati al concetto di parallela tutti noi diciamo: in quel caso non si incontrano e le rette sono appunto parallele.

Ma questa certezza viene messa in forse da un altro ragionamento che si basa appunto sui primi quattro postulati. E precisamente sul secondo. Si può prolungare la retta indefinitamente... Che significa? Bene,  che la retta per Euclide è appunto infinita. Ma...

Perché tanti dubbi? Perché se guardiamo la seconda figura(fig.2),

 

 

ci accorgiamo che qualcosa non va, infatti il punto B infinito se preso sulla retta infinita trasforma  il segmento che lo collega al punto A in  una retta infinita. Cosicché non si sa bene se le due rette parallele abbiano o no un punto in comune.

La geometria non euclidea nasce appunto da questo dubbio. Siamo nel 1835 in Russia dove Lobačeskij scrive La geometria immaginaria (ma non è l'unico geometra non euclideo; è preceduto e seguito da Saccheri,Bolyai,Gauss e Riemann). Elimina il quinto postulato e costruisce seguendo i primi quattro postulati di Euclide una geometria ellittica e una iperbolica. La rappresentazione di questi spazi sono in genere esemplificati da triangoli che non si comportano come quelli euclidei. Il triangolo ellittico (fig.3)

 

ha tre angoli la cui somma è maggiore di 180 gradi. Il triangolo iperbolico ha tre angoli la cui somma è minore di 180 gradi. Se uno guarda la figura in effetti potrebbe dire che essi sono strani triangoli: “gonfi” o “magri”. Nemmeno la figura 4 convince troppo.

 

Infatti quel triangolo che ha come somma degli angoli addirittura 270 gradi, è in realtà un triangolo disegnato su una sfera che è un solido di rotazione euclideo. Per poter immaginare un vero triangolo non euclideo basta ritornare alla figura due. Infatti potremmo dire che il triangolo immaginario che nasce dal punto A e si collega al punto B infinito ha in effetti angoli la cui somma è maggiore di 180 gradi. Finalmente le rette non si gonfiano o sgonfiano, ma appunto dobbiamo solo immaginarlo... una rappresentazione sembra impossibile. Perché piuttosto ci viene voglia di dire non è piu' un triangolo; ma cosa... un rettangolo? Nemmeno. Su questa ipotesi l'ipotesi del rettangolo con angoli ottusi o acuti si fondano appunto i tentativi di Saccheri, tutti falliti, per dimostrare il quinto postulato.

Uno potrebbe dire: ma infine è solo una geometria immaginaria... Ma non è cosi'. Einstein nella sua teoria della relatività generale vide che la geometria euclidea non poteva servire. Infatti ogni corpo in movimento dilata il suo spazio e il suo tempo. La gravitazione universale dunque dilata ogni spazio e ogni tempo. Ma se è cosi' e l'universo è in continuo movimento; ogni retta è in predicato di diventare, da un altro punto di vista, una curva. La metafora della curvatura dello spazio tempo sta ad indicare appunto questa trasformazione. Eddigton basandosi su questa curvatura dimostro' nel 1919 che la luce delle stelle che si propaga in linea retta, in realtà attratta dalla massa del sole si “incurvava” (fig.5), dimostrando cosi' la teoria di Einstein. Lo spazio è dunque retto da una geometria non euclidea. Ma il mistero continua perchè dal momento che non sappiamo la massa generale dell'universo (che per il 90 % è costituita da materia oscura e contiene anche un'energia nascosta) non sappiamo se è iperbolica o ellittica. Tra l'altro saperlo equivale a prevedere se finiremo in un annichilimento generale (big crunch) – geometria ellittica, se ci espanderemo indefinitivamente(geometria iperbolica) o se ci fermeremo (ritorneremmo allora alla geometria piana) in un tempo infinito (l'infinità delle parallele). Per ritornare al dubbio iniziale: lo spazio c'è ma come rappresentarlo? Con le quattro dimensioni di Einstein (lunghezza,larghezza,profondità e tempo) o con le 11 dimensioni della teoria delle stringhe? Mistero. Il mistero piu' profondo è appunto... il cielo stellato.

 

 

 

Colombo e Eratostene: la scienza sepolta

di

Alessandro Di Caro

 

Ho provato, come è mia costante abitudine di insegnante, a chiedere in giro che cos'è la scienza. In genere la scienza viene identificata con la matematica, cioè con qualcosa di assolutamente certo. Ma nelle risposte piu' avvertite si notava che la scienza ha bisogno anche di un apparato sperimentale. La teoria scientifica deve produrre. La scienza è quasi inutile senza la tecnica. Fisica, chimica, medicina devono produrre macchine,farmaci.

Tuttavia una conoscenza piu' diretta della scienza moderna deve assumere che quasi tutte le risposte sono imprecise o confuse.

Innanzitutto dalla sua prima affermazione la scienza occidentale con Eratostene (273-192 a.C) ed Archimede (287-212 a.C) si divide in ricercatori teorici (Eratostene) e scienziati (Archimede) anche se questa divisione appare tale soprattutto ai nostri occhi. Archimede ha costruito non soltanto gli specchi ustori (che cioè bruciavano a distanza le navi) ma anche una specie di ordigno meccanico (tipo gru) che riusciva a ribaltare le imbarcazioni nemiche, un orologio ad acqua, una pompa a vite, un planetario ed altri innumerevoli invenzioni che si basavano tuttavia su studi teorici e matematici (come il principio di Archimede) sui fluidi e la luce. Ma uno dei tanti misteri della storia è il fatto che di queste invenzioni e delle sue ricerche l'antichità non ne prese coscienza vera, ne le sfruttò. Tanto che, soltanto con Galileo, si prestò interesse alle opere di Archimede ed Eratostene, tra l'altro in parte perdute, come molti dei preziosi libri della biblioteca di Alessandria.  Ma purtroppo le stesse ipotesi scientifiche vennero dimenticate (Archimede seguendo Aristarco aveva fatto propria l'ipotesi eliocentrica) e perfino alcune importanti misure astronomiche. Una di queste, la misura del meridiano terrestre (e quindi estendendo l'ipotesi la misura dell'equatore e in genere della circonferenza della terra) era stata del tutto dimenticata  nell'anno di grazia 1492. La data cioè della scoperta dell'America. Colombo pensava infatti che le coste asiatiche fossero distanti soltanto 4400 km che era effettivamente la distanza dalla Spagna all'isola di S.Salvador. Se avesse seguito il calcolo di Eratostene si sarebbe reso conto che la circonferenza della terra (40.000 km) non poteva permettere un'estensione cosi' enorme del continente asiatico (35.600 km) che invece dista dalla Spagna 20.000 km.

Su quale scienza si basava allora Colombo? Si dice sulle testimonianze di Marco Polo e  sulle teorie di Toscanelli. Testimonianze e teorie sbagliate. Eppure Colombo era sicuro: l'ammiraglio è così sicuro di raggiungere l'Asia o il Cipango (Giappone)  che, per sedare una rivolta, promette di navigare soltanto altri tre giorni e proprio nella notte fra il secondo e il terzo giorno arriva a destinazione. Qui la ridda delle ipotesi è innumerevole. Altri c'erano stati prima di lui (Vichinghi,Danesi,perfino Portoghesi)? O, anche, che lui stesso vi era stato (ma allora perché la scoperta è del 1492 e non di qualche anno prima?)? In ogni caso la sua sicurezza non viene affatto dalla scienza.

Per apprezzare la sicurezza scientifica occorrerà vedere il calcolo di Eratostene. Come si osserva nella figura basta fare una proporzione.

 

L'angolo A misurato era di 7° e 12' pressappoco 1/50 di 360° (l'angolo giro). La distanza da Assuan (L'antica Syene) ad Alessandria era di 5000 piedi (la misura usata da Eratostene). Dunque anche questa distanza doveva essere un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Bastava moltiplicare 5000 x 50 e ottenere 250.000 stadi. Se lo stadio corrisponde a 157,5 metri abbiamo che 250.000 moltiplicato 157,5  da  39.375.000  metri cioè 39.375 Km. La misura della circonferenza della terra è effettivamente di 40.000  km. Se poi pensiamo che Assuan ed Alessandria non sono esattissimamente sullo stesso meridiano (differiscono di 3°), che la distanza tra Assuan (Syene) e Alessandria è sbagliata per 55 Km, che l'angolo misurato non è di 7° e 12' ma di 7° e 5',  che infine la terra è schiacciata ai poli, anche l'errore (minimo) di Eratostene è ben comprensibile e accettabile.

Dobbiamo inoltre riconoscere che alcune ipotesi scientifiche erano del tutto corrette. Che la terra fosse rotonda (per un navigante che si trova in mezzo al mare l'ipotesi è perspicua: non vedrebbe in caso contrario il GIRO d'orizzonte), che i raggi del sole data la sua enorme grandezza rispetto alla terra dovevano essere considerati paralleli.

Di tutto ciò ormai Colombo non aveva né contezza, né disciplina ragionativa. La sua sicurezza si basava quasi sicuramente su una testimonianza o addirittura su un déjà vu (carta nautica o esperienza diretta che fosse). La scienza, la scienza di Eratostene era stata sepolta.

L'episodio ci può insegnare molte cose. La presenza della misura matematica esatta è essenziale per la scienza, ma ancora piu' essenziale il ragionamento logico ed empirico che non si fa intimorire da nessuna credenza e da nessuna testimonianza. La sicurezza scientifica è basata su ipotesi (l'ipotesi che la terra fosse rotonda, che i raggi del sole fossero paralleli) e quindi non può essere incontrovertibile, assoluta. Ma il ragionamento geometrico e matematico sostiene questa insicurezza quanto più è esatto e preciso.

E su questo terreno, forse, siamo ancora ai tempi di Colombo. Quando si crede che la scienza sia una specie di teoria matematica o si crede semplicemente che la scienza sia solo quella che produce macchine o prodotti utilizzabili si dimentica che lo spirito della scienza può essere, talvolta, sepolto.